中國古代天算的成就超出了我們的想像(圖)
西周時期的數學水平怎麼樣,我們今天已無法看到,從古代典籍中所留下來的一些記載來看,數學並不是學習中的主要內容,與禮、樂、射、御相比,其所佔的比例十分小,不僅此時如此,即在整個知識體系和學術思想中,像數學這樣的自然科學也沒有清晰的面目,它們通常被劃歸於「數術類」。「數術類」是個很龐雜的門類,它包括很多我們今天歸為自然科學的知識,如數學、地理、天文等,也包括一些巫術的內容,比如占卜、符瑞、天象、風水等。二者是混合在一起的,有些分類在今天看來是十分荒謬的。舉個例子來說,比如「符瑞」這個門類,其中往往記載日蝕、月食、彗星、隕星等天文現象,在古人那裡這屬於災異,是凶兆,而不是天文學知識。這是我們知識體繫上的差別造成的,而不是知識本身的不同。
雖然數學在古時,其內容和水平有限,但這並不意味著,這一門知識不重要,不發達,相反,數學的運用十分廣泛,在某些方面的成就甚至超出了我們的想像,幾乎可以用超級早熟來形容,這就是天算。按照周禮的規定,周天子要在新年伊始頒發日曆,以確立農時。曆法的制定除了天文觀測積累經驗外,更多的要靠數學運算。而這個運算過程相當複雜。在古代流傳下來一本書,叫做《周髀算經》,它是一部以蓋天說為中心的天文學著作,年代無法準確估算,其上限甚至可以追溯到西周初年,其下限或許可以定在西漢初期,即公元前二世紀前期。這本書中涉及到很多數學知識,大體上保留了先秦時代的知識。
這本書開篇就討論直三角形,演說勾股定理。這裡我們不妨引用一段書中的內容。(採自李約瑟《中國科學技術史》第三卷「數學」,中譯本。)
周公
從前,周公問商高說:「我聽說,大夫(指商高)很精通數的藝術。是不是可請您談談,古代伏羲是怎樣確定天球的度數的?天是沒有一種梯子能登攀得上的,地也無法用尺子來測量。因此我很想問問您,這些數字是從哪裡來的?」
商高回答說:「數的藝術是從圓形和方形開始的。圓形出自方形,而方形則出自矩形(字面上即指丁字尺或木工用的曲尺)。矩形出自9×9=81這個事實(即乘法表或數的諸如此類的性質)。設把一個矩形沿對角線切開,讓寬等於3個單位,長等於4個單位。這樣,兩個對角之間的對角線的長度就等於5單位。現在用這條對角線作為邊長畫一個正方形,再用幾個同外面那個半矩形相似的半矩形把這個這個正方形圍起來,形成一個方形盤。這樣,外面那四個寬為3、長為4、對角線為5的半矩形,合在一起便構成兩個矩形,總面積等於24;然後從方形盤的總面積49減去24,便得到餘數25。這種方法成為’積矩’。大禹所用的治天下的方法,就是從這些數字發展出來的。」
周公感嘆說:「數這門藝術真是了不起啊!我想再請教應用直角三角形(字面上指丁字尺)的道理。」
商高回答說:「使直角三角形平臥在地上,可以用繩子設計出平直的和方形的工程。把直角三角形豎立起來,可以測量高度。倒立的直角三角形可用來測量深淺,而平放的直角三角形則可用來測出距離。」
「讓直角三角形旋轉(規),可以畫出圓形,把幾個直角三角形合在一起,可以得到正方形和長方形。方形屬於地,而圓形則屬於天,所以天是圓的,而地則是方的。方形的數是標準,從方形的數可以推出圓形的大小來。」
「天想一個笠子。天的顏色是藍的和黑的,地的顏色是黃的和紅的。可以用一個按照天的數之稱的圓盤來表示天,朝上的一面像外表面一樣,是藍色和黑色的;朝下的一面像內表面一樣,是紅色和黃色的,這就把天和地的形象再現出來了。」
「對地有所瞭解的人是聰明人,而對天有所瞭解的人則是聖人。知識出自直線,而直線則出自直角。因此,直角和數結合起來,就是指導和統治萬物的東西。」周公感慨地說:「這確實是太妙了!」
這一段文字中涉及了極為豐富的數學知識和天文知識。所謂的蓋天說,就是我們通常所說的「天圓地方」。雖然在後來的實際觀測和運算中,太陽的軌跡和四季的變化使人們不得不訴諸於更好的天文學說,即東漢大科學家張衡主張的渾天說,但此時的認識尚未達到。不過,讓人驚異的是,即使理論前提不怎麼準確,但仍然能制定出比較實用的曆法來。這是什麼原因呢?
對天要有認識,便要計算天的高度,於是便推動了直角三角形理論的發展,上面文字首先說天無法實測,於是便要一個媒介,媒介就是我們日常生活中最熟悉不過的直角三角形。這是經驗中獲得的,雖然簡單,但運用之妙,可謂變化無窮。就其所舉的例子,我們可以看出,古人對直角三角形的運用是非常熟練,樹立起來就測算高度,倒立可以測算深度,放平就可以測算長度。除了藉助它來計算長度距離,還可以用來計算面積,並將圓也聯繫起來。現在讀起來,彷彿看見古人侃侃而言,不覺相會於心,相忘於道術。這段文字中,還描述了乘法表,這表明四則運算已經成熟;勾股定理如今看似簡單,但隱藏在背後的卻是一個難題,這就是開放,雖然我們不能說那個時候普遍意識到開方知識,但在實際的運算中肯定要涉及到開方。他們能總結出這個定律,說明他們已經解決了這個難題,無論是理論上還是經驗上,他們似乎已經具有了相當成熟的數學思維。另外,這裡還隱含了比例問題,求天圓的過程中,這一點必不可少。就整部書的內容來看,裡面還包涵有大量的分數問題。就整部書而言,其知識的容量有點超出我的想像。
責任編輯:袁榮
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