從資訊理論、賭博到投資的一段傳奇(組圖)

【看中國2022年4月1日訊】1956年，物理學家約翰-凱利（John Larry Kelly），在《貝爾技術期刊》上，發了一篇題為「信息比例新解（A New Interpretation Of Information Rate）」的論文。 看中國網站 禁止建立鏡像網站 。

物理學家約翰-凱利（John Larry Kelly。作者博客） 看中國網站 禁止建立鏡像網站 。

在這篇論文中，凱利提出了一個如何處理信息傳輸中信號和噪音的公式，這就是後來大名鼎鼎的「凱利公式(Kelly Formula)」：

其中：f為信號發射端每次發送信號佔總信息量的比率；p為接收端接收到有效信號佔總信息量的比率；q為接收端接收到噪音信號佔總信息量的比率，q=1-p；b為特定介質在信息傳輸過程中的信噪比（信號與雜訊的比值）。

這篇論文，看上去科學嚴謹又高大上，但實際上完全不是那麼回事兒——因為，這個公式是凱利在研究一個賭博遊戲時琢磨出來的。

當時有一檔電視答題節目正在熱播，名叫《64000美元的問題》，因為節目火爆，就有人賭哪位選手能獲勝。賭徒們能夠提前獲取一部分選手的信息，但這些信息有限而且可能有誤，賭徒需要在不完全信息下進行下注。

凱利瞭解到這個賭局之後，就開始琢磨，如何利用有限的信息來參與賭博，才能在保證永遠不輸完的情況下，實現「利潤最大化」？

經過反覆的推導，凱利總結出來了如下公式：

凱利公式的投資意義（作者博客）

其中的f，為計算出來的賭金最優投資比例，b為賠率，即期望盈利/預計虧損，p為成功概率，q為失敗概率即1-p。

舉個例子，假設一個拋硬幣猜正反的簡單賭局，每局賭注1元，猜中了得2元，猜錯了輸掉1元，也就是賠率b=2，勝率p=0.5，代入公式後算得f=0.25——也就是說，在這樣一個簡單拋硬幣賭局中，如果能夠無限次重複，每次投入所持有本金的25%，可以在永遠不輸光本金的前提下實現收益的最大化。

從這個公式裡可以得出來兩個推論：

1）除非勝率是100%，否則任何賭局都不能all in；

2）f為正值的賭局才值得參與，f為0或負值的遊戲，重複參與的人必輸無疑。

別人的一個賭博遊戲，凱利能總結出如此簡潔的數學公式，由此可見凱利之聰明。凱利此人不僅長得帥，聰明，還特別有趣。在加入貝爾實驗室之前，他是美國海軍的飛行員，加入貝爾實驗室之後，他還加入了槍械俱樂部，又和妻子組隊打橋牌錦標賽，還給敞篷車裝上彈射座椅……

不過，在當時的貝爾實驗室：

凱利的帥，只能排第二位；

凱利的聰明，也只能排第二位；

凱利的有趣好玩，還是只能排第二位。

以上三項，都穩排在第一位的那個傢伙，叫香農（Claude Elwood Shannon）。

貝爾實驗室的克勞德-香農（作者博客）

很多人可能沒聽說過這個人。但其實，香農是當代資訊理論的開山鼻祖。他的碩士論文以及後來發表在《貝爾技術期刊》上的兩篇論文，確立了當代通信編碼的基本原理，他用數學公式來描述通信定理，為資訊理論和數字通信奠定了基礎。正是沿著他的思路，才有了今天的網際網路世界。

某種程度上說，現在的我們，能夠在網際網路上自由地即時聊天、打電話、聽音樂、看電影等等，其實都應該感謝他。

話說凱利總結出這個公式後，就拿給香農看，香農建議他寫成文章。起初，題目是「信息理論與賭博」，但貝爾實驗室的東家AT&T擔心，大眾可能認為實驗室在拿著研究資金搞非法賭博，所以在發表時名字特意改成了「信息比新解」。

凱利公式發表後，一直沒有激起什麼特別的浪花，直到被一個叫愛德華-索普（Edward O.Thorp）的傢伙給看到。

索普這人，從小就是個數學計算神童，28歲就在著名的麻省理工學院當了數學講師。但他從小就喜歡研究賭博，一直想要找到一種方式，通過大量的數據計算，來預測輪盤賭中彈珠最後的大致位置。

1960年，索普大致完成了自己的猜想，他想將論文發表在美國科學院院刊上，但這個刊物規定，必須由科學院院士推薦或署名才行。於是，索普就找到了當時麻省理工唯一的國家科學院院士——香農。

香農一直都是個老頑童，索普的這種主意很快就打動了他，他同意推薦論文發表，然後，按照索普的理論，兩個人一起製造了一個簡易的計算器，到各個輪盤賭上去小試身手。結果發現，因為各種計算誤差，賭博成果一直都差強人意。

這個時候，香農忽然想起來凱利公式，就把這篇論文，推薦給了索普，索普一眼就看了出來，這個公式可以應用到當時各大賭場盛行的21點賭博遊戲中——該遊戲由2到6個人玩，使用除大小王之外的52張撲克牌，遊戲者的目標，是使手中的牌的點數之和不超過21點且盡量大。

為了驗證凱利公式和「數牌法」在實際中的效果，索普於是約了一個專業賭徒，拿著1萬美元的本錢，到附近的兩個小賭場裡小試身手，結果，僅一個週末裡，就狂賺1.1萬美元。

確認策略有效後，索普聯合香農，設計了史上第一個攜帶型「計算器」。接下來，一旦沒錢花了或者手痒難耐的時候，索普就和香農及夫人在週末坐上飛機，飛往拉斯維加斯，在賭場裡大玩21點，掙一大把錢後走人。

投資達人愛德華-索普（作者博客）

由於索普在賭場中屢屢獲勝，不久就被各大賭場列為「不受歡迎的人」。為了能繼續贏下去，索普使用了化妝術，後來乾脆雇佣別人代替他本人去賭博，但賭場也越來越警惕。

索普的名聲在賭博業裡傳開了，很多人都想學這種方法。索普乾脆從挖金子改行賣鏟子，於是在1962年寫了一本書：《戰勝莊家：21點中的獲勝策略》（Beatthe Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One），詳細披露了自己是如何在賭場中賺錢的。

這本書迅速登上紐約時報暢銷書排行榜，銷量高達70萬冊，比索普本人化妝去辛苦賭博掙錢多多了，這也證明了一個真理：賣鏟子比挖金子賺錢。

那我們來看看，索普到底是怎麼在21點的賭博中掙錢的呢？

其實很簡單，記牌！

因為21點是撲克牌遊戲，而每一副牌中某花色或點數的總量是一定的，每一輪賭博過後，發牌員手中的牌數就會減少。通過記下已經出現的牌，索普就能計算髮牌員手中有什麼樣的牌，然後根據這些牌的花色、點數估算出現不同情況的概率，進而用凱利公式來計算下注比例。形勢有利的時候就下大賭注，形勢不利的時候就下小賭注。

那個時代賭場也很「笨」，一般只用1-2副牌，而且發牌員常常將牌發完之後才洗牌，導致記牌並非難事。索普公布了自己的辦法之後，賭場就學精了，每次用6-8副牌，而且發牌不到1/3就重新洗牌，而且禁止攜帶電腦和數牌的電子設備進場，基本就堵上了這個漏洞。

索普的書暢銷了之後，凱利公式開始變得世人皆知，甚至有人稱之為「財富公式」。

到了1969年，一個年輕的紐約證券經紀人里根找到了索普，希望和索普一起成立一個對沖基金，將索普的理念和方法完全商業化。索普可以繼續做他的研究，並作為基金經理下交易指令，而里根幫助他做產品銷售，客戶維護，完成交易執行以及其他所有的瑣事。

從1969年成立，到1988年因訴訟而意外停業，索普的基金20年年化收益率19.1%。雖然在投資大師裡貌似不算驚人，但如果你查看該基金淨值會發現，近20年的跨度下，該基金居然沒有一年虧損，共計230個月，只有3個月有回撤，且回撤幅度全部小於1%——這，大概是有史以來「最完美的投資曲線」。

實際上，索普的基金，是美國第一隻完全的中性策略基金，僅基於數學計算的概率和市場的定價失誤進行投資，即使在1987年的美股暴跌中，索普的基金也基本保持穩定，到年末，甚至還賺了大錢。

隨著參與到華爾街的「大賭博」中來，索普見了許多投資界人士，其中有一個叫巴菲特。那個時候他還不是股神，但兩人交流之後惺惺相惜，索普甚至預言，巴菲特會成為美國最富有的人。多年之後的巴菲特，的確實現了索普的預言。

索普認為，巴菲特是真正的投資大師，所以他把自己相當一部分財富，入股了巴菲特的公司，成為巴菲特的早期股東之一，這些股份一直持有到現在。

1994年，索普重新成立了一家對沖基金，這個基金業績更好，可惜到2002年他也主動解散——外部原因來說，是對沖基金數量激增，交易機會減少，但更重要的原因，是索普對賺錢的興趣降低了，他覺得和家人在一起，才是更好的時光。

索普對名聲也並不在意，後來震動了整個投資界Black-Scholes期權定價模型，其實索普自己早已推導出來，但他的選擇是自己默默掙錢。後來，這個公式的兩位作者布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes），還特意在論文裡感謝索普的貢獻。

索普對此很平靜：「我從未考慮過我的榮譽，因為我不是從事經濟學和金融行業研究的人，這個問題附帶的重大意義並不在我的思考範圍。」

相比於索普研究的個人化和隱私化，BS期權定價模型讓每個投資者都可以預測期權價格，它的提出徹底顛覆了以往的金融運行體系，華爾街的量化投資時代正式到來了。到了後來，麻省理工教授羅伯特-默頓（Robert Merton）採用隨機微積分將公式進一步完善，他和斯科爾斯共同獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。

所以，某種程度上說，索普是當今所有量化投資的鼻祖。

實際上，當前金融市場上叱吒風雲的知名對沖基金經理，幾乎都在使用凱利公式進行投資，這其中包括比爾-格羅斯（Bill Gross，債券投資之王）、詹姆斯-西蒙斯（James Simons，文藝復興公司名譽主席、世界級的數學家）和投機之王喬治-索羅斯（George Soros）等人。

特別值得一提的是，索普不再做對沖基金後，偶爾會做一些基金管理諮詢的事情，結果他就發現，伯納德-麥道夫的證券投資公司大有問題，勸朋友把錢撤出來。果不其然，2008年的時候，這一美國歷史上最大的「龐氏騙局」被揭露，詐騙金額超過600億美元。

索普寫了一本自傳《A Man For All Markets》，這裡的All Markets，意思是，他涉及了幾乎所有的交易市場，從賭場到華爾街，OTC期權、可轉債、股票、期貨等……

另外，如今在美國量化對沖基金領域鼎鼎大名的TGS基金，據說就是索普的三個徒弟一起創辦的，而TGS中的「T」，就是Thorp的名字。

責任編輯:宇真

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